Предговор

Математиката е навсякъде около нас, в основата на ситуации, в които не всички виждат нещо „математическо“. Тази книга е сборник от математически фрагменти – необичайни приложения на математиката в обичайната ни околна среда. Ситуациите са взети от света на изкуството – широко дефинирана област, обхващаща големите субконтиненти на дизайна и хуманитарните науки, от които подбрах сто примера измежду огромен избор на възможности. Подборката може да бъде четена в произволен ред: някои глави се преплитат с други, но повечето са самостоятелни и предлагат нов поглед върху някакъв аспект на изкуството, включително скулптурата, дизайна на монети и марки, попмузиката, тръжните стратегии, фалшификациите, драсканиците, шлифоването на диаманти, абстрактното изкуство, печатарството, археологията, оформянето на средновековните документи и текстологията. Това не е традиционната книга от типа „математика и изкуство“, покриваща познатата стара територия на симетрии и перспективи, а е по-скоро покана да преосмислите начина, по който гледате на околния свят.

Разнообразният спектър на връзки между математиката и всички изкуства не е неочакван. Математиката е каталогът на всички възможни структури – това обяснява нейната полезност и вездесъщност. Надявам се тази колекция от примери за поглед към порядъка в пространството и времето да разшири представата ви как простата математика може да хвърли нова светлина върху различни аспекти на човешката креативност.

Бих искал да благодаря на многото хора, които ме окуражиха да напиша тази книга или ми помогнаха да събера илюстративен материал и да го представя в окончателната му форма. В частност, искам да благодаря на Катерин Ейлс, Уил Сълкин и неговия наследник Стюарт Уилямс в „Бодли Хед“. Благодарности за приноса им заслужават още Ричард Брайт, Оуен Бърн, Пино Донги, Рос Дъфин, Лудовико Ейнауди, Мариане Фрайбергер, Джофри Гримет, Тони Хули, Скот Ким, Ник Мий, Ютака Нишияма, Ричард Тейлър, Рейчъл Томас и Роджър Уокър. Бих искал още да благодаря на Елизабет и подрастващите поколения в семейството ни за това, че от време на време забелязваха, че върху тази книга се работи. Надявам се да я забележат и когато излезе на пазара.

Джон Д. Бароу

Кеймбридж

ИЗКУСТВОТО НА МАТЕМАТИКАТА

Защо математиката и изкуството толкова често са свързани? Няма книги и изложби за изкуството и реологията или изкуството и ентомологията, но изкуството и математиката са интимни приятели. Има просто обяснение, което можем да проследим назад до самата дефиниция на математиката.

Докато историци, инженери и географи с лекота ще ви обяснят какъв е предметът на техните науки, математиците може и да не са толкова сигурни. Отдавна съществуват две различни мнения какво е математиката. Някои смятат, че е била открита, други, че е била изобретена. Първата възможност вижда математиката като набор от вечни истини, които вече „съществуват“ в буквален, реален смисъл, и са откривани от математиците. Този възглед понякога се нарича математически платонизъм. Според втората контрастираща възможност математиката е безкрайно голяма игра с правила, подобно на шахмата, които ние измисляме и с последиците на които след това се занимаваме. Често ние задаваме правилата, след като видим закономерности в природата или за да решим някаква практическа задача. Твърди се, че математиката е само прилагането на тези набори от правила – тя няма собствен смисъл, а само възможни приложения. Тя е измислена от човека.

Тези алтернативни философии за откриване или измисляне не са уникални за природата на математиката. Тази двойка алтернативи е родена в зората на философията в Древна Гърция. Същата дихотомия е приложима към музиката, изкуството или законите на физиката.

Странното при математиката е, че почти всички математици се държат като платонисти, изследващи и откриващи различни неща в достъпния за съзнанието ни свят на математически истини. Но малцина от тях биха защитили този възглед за математиката, ако бъдат притиснати да се изкажат за съкровената ѝ природа.

Ситуацията допълнително се обърква от такива като мен, които поставят под въпрос рязкото разграничаване между тези два възгледа. В крайна сметка, ако част от математиката е открита, защото да не я използваме, за да измислим още математика? Нужно ли е всичко, което наричаме „математика“, да бъде или измислено, или открито?

Има и друг възглед за математиката, в чиято дефиниция се включват дейности като плетенето или музиката, но той е по-полезен за нематематиците. Този възглед изяснява защо математиката се оказва толкова полезна в разбирането на физическия свят. Според този трети възглед математиката е каталогът на всички възможни закономерности. И този каталог е безкраен. Някои от закономерностите съществуват в пространството и украсяват подове и стени; други са последователности във времето, симетрии, логически конструкции или причинно-следствени връзки. Някои са привлекателни и интересни за нас, но други не са. Първите изследваме по-нататък, другите – не.

За много хора е изненада, че ползата от математиката в този възглед не е загадка. Истината е, че във вселената трябва да съществуват закономерности, защото иначе в нея не би могла да съществува никаква форма на съзнание. Математиката само изследва тези закономерности. И точно затова тя изглежда така всеприсъстваща в нашето изучаване на природата. И все пак остава една загадка: защо толкова малко на брой прости закономерности разкриват толкова много за структурата на вселената и всичко, което тя съдържа в себе си? Трябва да се отбележи, че математиката е забележително ефективна в по-простите физически науки и изненадващо неефективна, когато опре до разбирането на много от сложните науки за човешкото поведение.

Този възглед за математиката като колекция на всички възможни закономерности показва също защо математиката и изкуството толкова често се допират. Във всички произведения на изкуството могат да се идентифицират закономерности, повтарящи се структури. В скулптурата ще намерим закономерности в пространството; в драмата има също и закономерности във времето. Но всички тези закономерности могат да се опишат на езика на математиката. Въпреки тази възможност обаче няма гаранция, че математическото описание ще бъде интересно или ползотворно, в смисъл на водещо до нови закономерности или по-задълбочено разбиране. Ние бихме могли да номерираме човешките емоции или да ги обозначим с някакви етикети, след което да ги включим в списъци, но това не означава, че те ще се подчиняват на закономерностите, свързани с числата или с граматиката на някакъв език. Други, по-трудно забележими закономерности, като тези, намирани в музиката, попадат по-ясно в рамките на този структурен възглед за математиката. Това не означава, че целта или смисълът на музиката има математически характер, а само че нейните симетрии или закономерности съставляват малка част от големия каталог на възможности, които математиката може да изследва.

ОТ КОЛКО ПАЗАЧИ ИМА НУЖДА ЕДНА ГАЛЕРИЯ С КАРТИНИ?

Представете си, че сте началник на охраната на голяма картинна галерия. Имате голям брой ценни картини, покриващи стените на галерията. Те са окачени ниско, за да могат да бъдат разглеждани на нивото на очите, което ги прави уязвими за кражба или актове на вандализъм. Галерията представлява набор от стаи с различни форми и размери. Как да се подсигурите така, че всяка картина да бъде в полезрението на кураторите по всяко време? Решението би било просто, ако разполагате с неограничено финансиране: слагате по един пазач до всяка картина. Но картинните галерии рядко са щедро финансирани, а заможните спонсори не са склонни да отварят кесиите си, за да осигурят повече пазачи и столове за тях. Така че на практика имате проблем или по-точно математическа задача: какъв е най-малкият брой пазачи, които трябва да наемете, и как да ги разположите така, че всички стени на галерията да са в нечие полезрение на нивото на очите?

Така, значи трябва да узнаем минималния брой пазачи (или охранителни камери), нужни за наблюдение на всички стени. Ще приемем, че стените са прави и че пазач, стоящ в ъгъла, където се събират две стени, може да вижда всичко на тези две стени. Ще приемем също, че полезрението на пазача никога не е блокирано от някакви предмети и че той може да се върти на 360 градуса. Очевидно е, че една триъгълна галерия може да бъде наблюдавана от един пазач, където и в нея да се намира той. Всъщност, ако галерията има формата на многоъгълник с прави стени, чиито върхове сочат навън (изпъкнал многоъгълник, какъвто е триъгълникът например), тогава винаги е достатъчен един пазач.

Нещата обаче стават по-интересни, ако не всички върхове сочат навън. Ето една подобна галерия с осем стени, която все още може да се наблюдава от един пазач, разположен във върха О (макар това да не е изпълнено, ако пазачът се премести в горния ляв или долния ляв връх):

Е, това е една доста икономична за поддържане галерия. Ето обаче една по-необичайна, която не е ефективна – тя има нужда от четирима пазачи, за да бъдат всички стени винаги пред погледа на някого от тях:

За да решим задачата, е достатъчно да видим как да разделим галерията на незастъпващи се триъгълници1. Това е винаги изпълнимо. Понеже триъгълникът е един от онези изпъкнали многоъгълници (с три страни), който се нуждае от само един пазач, вече е ясно, че ако галерията може да бъде изцяло покрита от, да кажем, T незастъпващи се триъгълници, тогава тя винаги може да бъде под контрола на T пазачи. Възможно е, разбира се, да бъде наблюдавана от по-малко. Например, ние винаги можем да разделим един квадрат на два триъгълника, като прекараме един от диагоналите, но не са нужни двама пазачи, за да се наблюдават всички стени – достатъчен е един. Всъщност максималният брой пазачи, нужни да се охранява галерия с W стени, е цялото число2 от делението W/3. За нашата 12-странна гребеновидна галерия този максимум е 12/3 = 4, докато за 8-странна е 2.

За нещастие, определянето дали трябва да използвате максимума, не е толкова лесно и представлява т.нар. „трудна“ компютърна задача, за която нужното време за изчисляване може да се удвоява с добавянето на само една нова стена към задачата3. На практика, проблем се появява, когато W е много голямо число.

Повечето от галериите, които посещаваме днес, нямат екзотични, начупени разпределения като в тези примери. Те по-скоро имат стени под прави ъгли като тези:

Ако в галерия, подобна на горната, има много върхове под прав ъгъл, те могат да бъдат разбити на правоъгълници, всеки от които ще се нуждае от само един пазач, който ще вижда всички стени4. Нужният брой пазачи, разположени в ъглите, които винаги са достатъчни за поставяне под наблюдение на цялата галерия, е цялата част от числото ј Ч броя на върховете: за галерията с 14 върха, показана на фигурата, това число е 3. Ясно е, че е много по-икономично (от гледна точка на заплати или камери) да се използват галерии с подобни планове, особено ако те са с голяма площ. Ако имате 150 стени, тогава галерия със стени не под прави ъгли изисква 50 пазачи, докато такава, в която стените се събират само под прави ъгли, изисква най-много 37.

Друг традиционен тип правоъгълни галерии са тези, разделени на стаи. Ето пример на 10-стайна галерия:

В тези случаи винаги можете да разделите галерията на набор от незастъпващи се правоъгълници. Това е уместно, понеже, ако поставите пазач в отвора, свързващ две съседни стаи, той може да наблюдава едновременно и двете. Но никакъв пазач не може да наблюдава едновременно три стаи. Така че броят пазачи, който е достатъчен за пълно наблюдение на галерията, е цялото число, по-голямо или равно на Ѕ Ч броя на стаите, което означава 5 за 10-стайната галерия от плана по-горе. Но има и по-икономично използване на ресурсите. Всички варианти на реалистични сценарии са изследвани от математици, в някои от които пазачите се движат, а в други – където имат ограничено полезрение – се използват огледала за виждане „зад ъгъла“. Има също така изследвания на оптималните маршрути, по които да се движат крадците на картини в галерия под наблюдение от камери или с разхождащи се пазачи, за да ги избегнат! Така че ако решите да организирате открадването на „Мона Лиза“, възможно е проблемът вече да е проучен.

100 съществени неща, за които не сте подозирали, че не знаете за математиката и изкуството