Предговор

Това е малка книжка с фрагменти и парчета – фрагменти за нетрадиционни приложения на математиката в ежедневния живот, и парчета за някои други неща, които не са толкова далече от математиката. Можете да избирате между сто теми, без значение в какъв ред, без скрит замисъл и без невидима връзка. Някъде ще намерите само думи, тук-там ще срещнете и числа, а съвсем рядко и уточняващи бележки, които ще ви покажат формулите зад онова, което виждате. Математиката е интересна и важна, тъй като може да ви каже за света неща, които не можете да научите по какъвто и да е друг начин. Когато опре до фундаментална физика или до мащабите на астрономическата вселена, ние сме склонни да очакваме точно това. Но аз се надявам, че тук ще видите как простите идеи могат да хвърлят нова светлина върху всевъзможни неща, които иначе могат да ви се сторят банално познати или които бихте подминали, без да им обърнете внимание.

Много от примерите на следващите страници са стимулирани от целите на Millennium Mathematics Project1, който през 1999-а дойдох да ръководя в Кеймбридж. Предизвикателството да се покаже как математиката може да ни каже по нещо за повечето неща в света, който ни заобикаля, е такова, че когато се справите с него, то може да изиграе важна роля за мотивиране и информиране на млади и стари, за да разберат и да се възхитят на мястото на математиката в осмислянето на света.

Бих искал да благодаря на Стив Брамс, Мариане Фрайбергер, Джени Гейдж, Джон Хей, Йорг Хенсген, Хелън Джойс, Том Кьорнер, Имре Лидер, Дръмънд Моар, Робърт Осерман, Джени Пигот, Дейвид Шпигелхалтер, Уил Сълкин, Рейвъл Томас, Джон Х. Уеб, Марк Уест и Робин Уилсън за полезните дискусии, окуражаването и всичките практични съвети, които обогатиха колекцията от съществени неща в окончателния ѝ вид, който сега е пред вас.

Накрая, благодаря на Елизабет, Дейвид, Роджър и Луиз за смущаващо дълбокия им интерес към тази книга. Някои от тези членове на семейството дори сега често ми обясняват защо стълбовете на далекопроводите се правят от триъгълници и защо въжеиграчите ходят с дълги прътове. Скоро и вие ще научите.

Джон Д. Бароу

Август 2008, Кеймбридж

Далекопроводен стълб

на месеца

Както Мойсей разделя морето, така далекопровод 4YG8 на националната електрическа компания води своите стълбове през това имение в графство Оксфордшър към „обетованата земя“ на електроцентрала Дидкот.

Pylon of the Month, декември 1999

Има много завладяващи уебсайтове, но никой не е по-притегателен от култовия Pylon of the Month2 („Далекопроводен стълб на месеца“), замислен да показва ежемесечно най-интересните далекопроводни стълбове в света. Тези на страницата на уебсайта са от Шотландия. Уви, Pylon of the Month сега събира паяжина, но от него все още може да се научи нещо, понеже всеки стълб разказва на математика история. Тя е за нещо толкова изпъкващо и вездесъщо, че... често оставя незабелязано.

Следващия път, когато пътувате с влак, погледнете внимателно стълбовете, които се стрелкат зад прозорците. Всеки е направен от плетеница от метални пръти, образуващи една и съща повтаряща се многоъгълна фигура. Тази геометрична фигура е триъгълник. Има големи триъгълници и малки триъгълници, вместени между тях. Даже видимите квадрати и правоъгълници са просто двойки триъгълници. Причината е малка част от интересна математическа история, започнала в началото на XIX столетие с работата на френския математик Огюстен-Луи Кошѝ.

От всички многоъгълни геометрични фигури, които можем да построим чрез свързване на прави метални прътове, триъгълникът е специална. Това е единствената фигура, която е неподвижна (не се деформира), известна е като идеално твърда. Ако бъдат хванати в ъглите с панти, всички останали могат да се модифицират в други фигури, без да се огъват прътовете. Най-прост с примерът с квадрата или правоъгълника: вижда се, че тази фигура се деформира в успоредник без никакво усилие. Това е важно съображение, ако искате да постигнете структурна стабилност с оглед ветрове и температурни промени. И е причината далекопроводните стълбове да са тотемите на бога на всички триъгълници.

Ако преминем на триизмерните фигури, ситуацията е доста по-различна: Коши е показал, че всеки изпъкнал многостен (т.е. такъв, на който всички стени сочат навън) с недеформируеми стени, хванати с панти по ръбовете, е идеално твърд. В действителност твърдението остава вярно и за изпъкналите многостени в пространство с четири или повече измерения.

Как стои въпросът при неизпъкналите многостени, при които някои от стените могат да сочат навътре? Те изглеждат доста по-деформируеми. Този въпрос останал отворен до 1978 година, когато Робърт Конъли намерил пример с неизпъкнали стени, който не е идеално твърд, и после показал, че във всички подобни случаи възможните гъвкави размествания запазват общия обем на многостена. Примерите на съществуващи или такива, които могат да бъдат открити в бъдеще, неизпъкнали многостени едва ли ще имат някакво практическо значение за инженерите, понеже са специални в смисъл, че изискват идеално точна конструкция... нещо от рода на балансиране на игла на върха ѝ. Всяко отклонение от тази конструкция дава твърд многостен, затова математиците казват, че „почти всеки“ многостен е твърд. Това като че ли прави структурната стабилност лесно постижима... само че стълбовете се огъват и падат. Сигурен съм, че виждате защо.

Равновесие

Въпреки че съм израсъл в привилегирована среда, аз съм доста уравновесен. Настръхвам, откъдето и да ме погледнат3.

Ръсел Кроу в „Красив ум“

Каквото и да правите в живота, има случаи, когато сякаш вървите по въже между успеха и провала, като се опитвате да балансирате между две неща или да избегнете нещо, което ще погълне всеки ваш свободен момент. Но какво да кажем за хората, които наистина ходят по въже? Наскоро гледах стари кадри на вече позната гледка: луд въжеиграч прави смъртно опасен преход по въже високо над пропаст, на дъното на която тече бурна река. Едно подхлъзване и той ще стане поредната жертва на нютоновия закон за гравитацията (всемирното притегляне).

Всички сме опитвали да пазим равновесие на стъпала или на греда и от личен опит знаем, че някои неща ни помагат да се задържим прави: да не се накланяме встрани от центъра, да стоим изправени, да поддържаме ниско центъра на тежестта – все неща, на които учат в цирковите училища. Но тези въжеиграчи като че ли винаги носят в ръцете си дълги прътове. Понякога краищата на прътовете провисват заради тежестта им, а понякога там висят тежки ведра. Защо, мислите, го правят?

Ключовата идея е да разберете, че въжеиграчът носи дълъг прът, за да облекчи равновесието си заради инерцията. Колкото е по-голяма инерцията, толкова по-бавно се движите, когато бъде приложена сила. Това няма нищо общо с центъра на тежестта. Колкото по-далече от центъра на тежестта е разпределена масата, толкова по-голяма е инерцията на тялото и толкова е по-трудно то да се премести. Вземете две сфери от различен материал с еднакъв диаметър и еднаква маса – едната куха, другата плътна, – и ще установите, че тази, при която масата е по-далече от центъра ѝ, по-бавно ще се премества или ще се търкаля надолу по наклон. По подобен начин носенето на дълъг прът увеличава инерцията на въжеиграча, като измества общата маса на тялото по-далече от централната (осовата) линия – инерцията се измерва, като умножим масата по квадрата на разстоянието. В резултат малките залитания встрани от равновесната позиция се извършват по-бавно. Те имат по-голям период на осцилация и поради това въжеиграчът има повече време да реагира на залитането и да възстанови равновесието си. Проверете например колко по-лесно е да балансирате на пръста си еднометрова пръчка в сравнение с 10-сантиметрова.

Маймунска работа

I have a spelling chequer

It came with my pee sea

It plainly marques four my revue

Miss takes I cannot see

I’ve run this poem threw it

I’m shore yaw pleased to no

It’s letter perfect in its weigh

My chequer told me sew...

Barri Haynes4

С течение на времето се е оформила постепенно легендарната картина на множество маймуни труженици, блъскащи хаотично по клавиатури, за да печатат букви в случаен ред с надеждата в крайна сметка да пресъздадат произведенията на Шекспир. В „Пътешествията на Гъливер“ (1726) Джонатан Суифт разказва за митичен професор от Голямата академия в Лагадо, който си е поставил за цел да създаде каталог на цялото научно познание на човечеството, като наредил на студентите си да генерират случайни набори от букви с помощта на механична печатаща машина. Първата механична пишеща машина била патентована през 1714 г. След като няколко френски математици от XVII и XVIII век използвали идеята да се създаде велика книга чрез комбиниране по случаен начин на поток от букви като илюстрация за нещо крайно невероятно, през 1909-а се появили за първи път маймуните, когато френският математик Емил Борел споменал, че случайно печатащи маймуни могат в крайна сметка да пресъздадат всяка книга във френската Bibliothиque Nationale (Национална библиотека). Артър Едингтън заел аналогията в знаменитата си книга „Природата на физическия свят“ (The Nature of the Physical World) (1928), но направил библиотеката английска: „Ако оставя пръстите ми да шарят по клавишите на пишещата машина, може да се случи така, че в хаоса да се образува разбираемо изречение. Ако армия маймуни трака по клавишите на множество пишещи машини, те биха могли да напишат всички книги в Британския музей“.

В крайна сметка този станал банален пример избрал „Пълните съчинения на Шекспир“ като основен кандидат за случайно пресъздаване. Оказва се, че имало уебсайт, на който било симулирано случайното натискане на клавиши, след което се търсели фрагменти, съдържащи се в „Пълните съчинения на Шекспир“. Тази симулация на маймунски труд започнала на 1 юли 2003 със 100 (виртуални) маймуни, като броят им бил удвояван през няколко дни и това продължило до съвсем неотдавна5. През това време били генерирани 1035 страници, всяка с по 2000 натискания на клавиши.

Ежедневно бил записван рекорд, както и най-високите попадения през цялото време, докато в крайна сметка проектът „Маймунски симулатор на Шекспир“ спрял да актуализира сайта си през 2007-а. Ежедневните рекорди се оказали доста стабилни – от порядъка на 18 или 19 символа, – а най-доброто постижение „за всички времена“ плавно растяло. Например един от 18-символните низове, създаден от маймуните, се съдържа в следната извадка:

... Theseus. Now faire UWfIlaNWSK2d6L;wb...

Първите 18 символа6 съвпадат с извадка от „Сън в лятна нощ“, където намираме:

... us. Now faire Hippolita, our nuptiall houre...7

За известно време рекордният низ бил дълъг 21 символа:

... KING. Let fame, that wtIA„yh!“VYONOvwsFOsbhzkLH...

съвпадащ с 21 символа от „Напразните усилия на любовта“

KING. Let fame, that all hunt after in their lives,

Live regist’red upon our brazen tombs,

And then grace us in the disgrace of death;...8

През декември 2004 рекордът достигнал 23 символа с

Poet. Good day Sir FhlOiX5a]OM,MLGtUGSxX4IfeHQbktQ...

което съвпада с част от „Тимон Атински“:

Poet. Good day Sir

Pain. I am glad y’are well

Poet. I haue not seene you long, how goes the World?

Pain. It weares sir, as it growes...9

Към януари 2005-а, след 2 737 850 милиона милиарда милиарда милиарда маймуногодини хаотично печатане, рекордът станал 24 символа с:

RUMOUR. Open your ears; 9r“5j5&?OWTY Z0d

‘B-nEoF.vjSqj[...

което съвпадало с 24 символа от „Хенри IV, част 2“:

RUMOUR. Open your ears; for which of you will stop

The vent of hearing when loud Rumour speaks?

Which all goes to show: it is just a matter of time!10

Денят на независимостта

Прочетох, че имало вероятност 1 на 1000 на самолета да се качи някой с бомба. Затова започнах да вземам бомба със себе си на всеки полет – предполагам, че вероятността двама да имат бомба е астрономически малка.

Анонимен

Денят на независимостта, 4 юли 1977 година, е дата, която помня много добре. Освен че беше един от най-горещите дни в Англия от незапомнени времена, това бе и денят на вътрешната защита на докторската ми дисертация в Оксфорд. Независимостта – макар и от по-различен характер – се оказа с известно значение, тъй като първият въпрос, който комисията ми зададе, изобщо не беше в областта на космологията (тема на дисертацията ми). Единият от изпитващите ме бе открил 32 типографски грешки в дисертацията (обърнете внимание, че става дума за дните без текстообработващи и средства за проверка на първописа11). Друг бе открил 23. Въпросът е: колко още грешки може да има, останали неоткрити и от двамата? След известна подробна проверка се оказа, че 16 от грешките са били намерени и от двамата. Въз основа на тази информация е изненадващо, че можете да отговорите на въпроса, ако допуснете, че двамата са работили независимо един от друг, така че шансът единият да намери грешка не зависи от това дали другият ще я намери, или ще я пропусне.

Да допуснем, че двамата изпитващи са намерили съответно A и B грешки, а C от тях са открити и от двамата. Сега да допуснем, че първият има вероятност Pa за откриване на грешка, а за вторият тя е Pb. Ако общият брой на грешките в дисертацията е T, тогава A = PaЧT и B = PbЧT. Но ако двамата са работили независимо, тогава ние знаем, че C = PaЧPbЧT. Така че AЧB = PaЧPbЧT2 = CЧT и общият брой на грешките е T = AЧB/C, т.е. не зависи от стойностите на Pa и Pb. Понеже общият брой на грешките, открити от двамата изпитващи, е A + B – C (не трябва да броим два пъти C грешките, които и двамата са открили), това означава, че общият брой на неоткритите и от двамата грешки е T – (A + B – C) и това е (A – C) Ч (B – C)/C. С други думи, това е произведението на грешките, открити само от единия, разделено на броя грешки, които и двамата са открили. Това звучи доста логично. Ако и двамата са открили много грешки, без сред тях да има общи, тогава те не са добри коректори и е вероятно да има още много, които и двамата не са забелязали. В конкретния случай с моята дисертация A = 32, B = 23, а C = 16, следователно общият брой неоткрити грешки се очаква да бъде (16 Ч 7)/16 = 7.

Подобни съображения може да се използват в много ситуации. Да предположим, че различни нефтотърсачи търсят независимо нефтени находища (петролни джобове): колко биха останали неоткрити? Или ако еколозите искат да научат колко животни или видове птици може да има в даден регион, след като няколко наблюдатели проведат преброявания по 24 чбса?

Подобен проблем възниква и в литературния анализ. През 1976-а двама станфордски статистици използвали същия подход, за да оценят обема на речника на Шекспир чрез преброяване на броя различни думи, които той е използвал в творбите си, отчитайки многократната употреба. Шекспир е написал около 900 000 думи общо. Сред тях е използвал 31 534 различни думи, от които 14 376 се появяват само веднъж, 4343 се появяват два пъти и 2292 се появяват само три пъти. Те преценили, че Шекспир е знаел поне 35 000 думи, които не са използвани в неговите произведения, и следователно е имал речников запас от 66 500 думи. Може да е изненадващо, но вие също знаете горе-долу толкова.

100 съществени неща, които не сте знаели, че не знаете